Velocità di fuga da un pianeta - CALCOLO

Si definisce velocità di fuga, la velocità che un corpo deve avere per poter lasciare un pianeta od un altro corpo celeste che eserciti un’attrazione gravitazionale.

Ogni oggetto che abbia una massa è attratto dalla forza gravitazionale della terra. Se si volesse lanciare nello spazio in direzione verticale tale corpo, sarebbe necessario imprimere ad esso una forza impulsiva che aumenterebbe in pochi istanti la velocità.

Se ipotizziamo nullo il contributo degli attriti dell’atmosfera, quale deve essere la velocità minima necessaria per permettere al corpo di uscire dal campo gravitazionale della Terra e proseguire nello spazio?

Se la velocità fosse troppo piccola, dopo aver compiuto un certo tragitto, il corpo sarebbe rallentato dalla forza di gravità, fino al punto di fermarsi e tornare indietro fino alla superficie del Pianeta.

Naturalmente questo è un caso ipotetico, che non ha riscontro nei reali lanci spaziali. Un razzo vince la forza di gravità a velocità minori, ma con una continua forza di propulsione dei suoi motori. Il nostro caso è più teorico e può aiutare a capire la meccanica celeste.

Il calcolo della velocità di fuga si esegue uguagliando l’energia meccanica del corpo in due casi limite:

1. energia allo stato iniziale quando è appena stato lanciato ad una velocità iniziale
2. energia all'infinito, considerando velocità nulla e distanza sufficiente a non risentire più della forza di gravità (o quantomeno in quantità trascurabile).

L’energia al momento iniziale è data dalla somma dell’energia cinetica e l’energia potenziale (negativa perchè compie un lavoro verso opposto) .

dove:

• \(v\) = velocità al momento iniziale
• m = massa del corpo
• M = massa del pianeta (Terra)
• r = distanza tra il baricentro dei due corpi. Al momento iniziale corrisponde alla distanza tra il centro della Terra e la superficie, vale a dire il Raggio Terrestre.
• \(\gamma\) = costante gravitazionale

All'infinito, contrariamente, la velocità si considera nulla (quindi l'enegia cinetica sarà nulla) e la sistanza \(r_{\infty}\) sarà talmente grande da rendere trascurabile anche il termine dell'energia potenziale.

Per il principio di conservazione dell'energia, le due espressioni nelle due diverse situazioni, sono da considerarsi uguali. Si ha dunque:

A questo punto si può ricavare la velocità iniziale risolvendo l'equazione per il termine \(v_0\):

Il caso del pianeta Terra

Se si volesse calcolare la velocità di fuga dal nostro pianeta, basta sostituire i valori di Massa e Raggio:

• \(r = 6371 \ km\)
• \(M \ = \ 5.9721986 × 10^{24}\ kg\)
• \(\gamma\ = \ 6,674 × 10^{-11} \ \frac{m^3}{kg \ s^2}\)

I buchi neri

La velocità di fuga è utilizzata anche per definire i buchi neri. Infatti La forza di gravità nelle vicinanze del buco nero è tale da deformare talmente lo spazio che la velocità di fuga da esso è maggiore della velocità della luce, vale a dire che è impossibile sfuggire da esso.